详解九章算法

十二卷。宋杨辉(生卒年不详)撰。杨辉字谦光，钱塘(今杭州)人。据陈几先为杨辉《日用算法》撰跋称他能“以廉饬己，以儒饰吏”可知杨辉曾当过地方官员，是当时有名的数学家。他结合自己的工作，搜集和阅读大量的数学著作，进行研究，从1261年至1275年先后编成数学书五种二十一卷，即《详解九章算法》十二卷(1261)，《日用算法》二卷(1262)，《乘除通变本末》三卷(1274)，《田亩比类乘除捷法》二卷(1275)，《续古摘奇算法》二卷(1275)。《详解九章算法》现传本为宜稼堂丛书本，已非全帙，且编排错乱。据杨辉自序可知这书乃取《九章算术》中的八十问进行详解，除《九章》九卷外，增添三卷：一卷是图，一卷讲乘除算法，一卷是纂类。现据当代中算史家严敦杰对十二卷次序排比的订正，将该书内容介绍如下：卷首，图。这些原图现已失传，据卷五少广章：“立草在《九章》卷首布置图内”，可知这是为方便演草而设计的图。卷一乘除。该卷已失传。据《算法通变本末》卷上：“《详解九章算法》第一卷有乘除，立问一十三题，专说乘除。”卷二为方田章第一，原卷已佚。卷三是粟米章第二，原卷已佚，《永乐大典》卷一六三四三算法十四异乘同除内引杨辉《详解》两题当是此卷佚文。卷四衰分章第三，原卷已佚。《永乐大典》卷一六三四三算法十四保存了这卷残存的十一题。卷五少广章第四，全卷现保存在《永乐大典》卷一六三四三算法十五之内，除《九章》二十四问之外，杨辉又补了开三乘方一题，同时还引录了贾宪的“开方作法本源”图以及该图的构造方法为“增乘方求廉法草”。卷六商功章第五，传本存十三题，缺十五题。卷七均输章第六，传本缺一题。卷八盈不足第七。卷九方程章第八，传本缺四题。卷十勾股章第九，卷末纂类。纂类即把《九章》二百四十六题按“以法问浅深，资次类章”的要求重新编排分类，其分类的项目是：乘除，分率(乘除应用题)，合率(合分法应用题)，互换(比例题)，衰分，叠积，盈不足，方程，勾股。在每一类中，杨辉由总的算法演绎出不同的具体方法，又由具体方法推出相应的习题。例如方程类依次给出方程、损益、分子、正负四法，其中方程为干，其余三法为枝，由干生枝；又如勾股类三十八问，分为二十一种方法，其最基本形式为勾股定理，由此演出各种复杂的勾股问题解法。显然杨辉这种“因法推类”是一种演绎思想。《详解》的体例分为三项：1．解题，先把题问的道理讲清楚，交代题问的性质及内容，解释题意、名词和术语，对题目加以评论，进行文字校勘等。2．细草，包括图解和算草，图中不仅有“题图”，而且有“法图”，“以图参法，取用可知”，生动直观的插图，为学习者提供了方便。算草则先列“法曰”，后才演草。法是一般性方法，草是解答本题的演草。3．比类，即在各种解法之后给出该法所适用的若干性质相近的题目。杨辉自序说：“僭比类题以通俗务。”其应用较突出的是商功章，通过方亭、方锥、鳖臑、刍童等题比类得出各种垛积公式，形成独特的垛积术。杨辉对于算法的研究十分重视，在序言中他写道：“题有分者，随通之；母不同者，齐子并之；田不匠者，折并直之；数皆求者，互乘换之；差等除实，别而衰之；错糅为问，正负入之；勾股旁要，开方除之；节题匿积，演段取之。”杨辉称：“此算法之尽理也。”对当时的各种算法作了详尽的概括。在书中杨辉还对许多古代数学典籍广泛引证，为后世保存了许多数学史料。该书对普及《九章算术》，弘扬中算古法起到一定作用。明吴敬就是在此书影响下写出了《九章算法比类大全》的。明顾应祥《勾股算术》(1533)，程大位《算法统宗》(1592)都引用了杨辉的算法。当代中算史家李俨的《宋杨辉算书考》(载《中算史论丛第二集》)、严敦杰的《宋杨辉算书考》(载《宋元数学史论文集》)对杨辉的《详解九章算术》作出了独到的考证研究。《详解》的版本有《宜稼堂丛书》本(残存本)。